یقین ریاضی ۲: ریاضیات به مثابه بازی-زبان

 

از نظر ویتگنشتاین «بالاتر از هر چیز زبان وسیله ارتباط است و در مرتبه دوم وسیله بازنمایی است»(Hacker,2011,p 19) البته باید توجه داشت که همه ارتباط های زبانی مستلزم بازنمایی نیستند. از این رو «یادگیری یک زبان یعنی اینکه فرد عضو شرکت کننده در یک فرهنگ بشود.»(Ibid,p 2) هر بازی-زبان دارای دو وجه مهم است: واژگان و قواعد(rules)

معنای یک کلمه بکارگیری آن در زبان است(ویتگنشتاین)

از نظر ویتگنشتاین « معنای یک کلمه بکارگیری آن در زبان است»(Wittgenstein,1953,p 43) یک واژه دارای معنای ذاتی نیست بلکه وقتی مطابق قاعده های یک زبان بکار گرفته می شود معنا می یابد. آنچه که در تشخیص یک قاعده از چیزهای دیگر باید به آن توجه کرد این است که آنچه پیروی از قاعده نامیده می شود چیزی نیست که فقط یک نفر و فقط یکبار در عمرش انجام دهد. قاعده چیزی است که شما می توانید آن را یاد بگیرید و به دیگران بیاموزید. بنابراین قاعده چیزی است که شما و دیگران می توانید مکرراً از آن پیروی کنید. « امکان ندارد که فقط یک موقعیت وجود داشته باشد که در آن کسی از یک قاعده پیروی کرده باشد. امکان ندارد که فقط یک موقعیت بوده باشد که در آن گزارشی داده شده باشد، دستوری داده یا فهمیده شده باشد و غیره» (Wittgenstein,1953,p 199). در واقع « “پیروی از یک قاعده” یک روال عملی است»(‘obeying a rule’ is a practice) .(Ibid,p 202) که فردِ در گیر در یک بازی-زبان بدان شیوه عمل می کند. در اینجا باید به دو نکته مهم توجه کرد:

• قاعده به دلیل نقش گرامری خود نیازمند توجیه نیست.
• پیروی از قاعده پراکتیسی فردی نیست بلکه اجتماعی است.

حال اگر ریاضیات را به مثابه یک بازی-زبان تلقی کنیم خواهیم دید که تسلط و مهارت در ریاضی یعنی یادگیری این که ما در بازی-زبان استدلال و استنتاج ریاضی چگونه باید حرکت کنیم. بکار گیری یک واژه یا یک جمله یعنی انجام چنین حرکتی. از این رو تسلط بر یک مفهوم ریاضی ، تسلط بر تکنیک بکارگیری آن مفهوم در بازی-زبان ریاضی است. برای روشن شدن موضوع بازی-زبان هندسه و منطق را بررسی می کنیم.

بازی-زبان هندسه

گرچه شاید نتوان گفت که صورتگرایی هیلبرت در ریاضیات دقیقا مطابق مفهوم بازی-زبان از منظر ویتگنشتاین است اما می‌توان اذعان داشت که هیلبرت کسی بود که برای اولین بار نمایی از ریاضیات ارایه کرد که آن را همچون یک بازی-زبان می می‌توان تلقی کرد. هیلبرت کوشید تا مفاهیم و واژگان و قواعد و اصول موضوعه بازی-زبان هندسه را بیان کند او در کتاب مبانی هندسه(۱۸۹۹) چنین می گوید:

سه‌ مجموعه‌ از چیزهای‌ جدا از هم‌ را در نظر بگیرید. فرض‌ کنید اشیای مجموعه اول‌ نقاط‌ نامیده‌ شوند و با C، B، A و… نشان‌ داده‌ شوند. فرض‌ کنید اشیای مجموعه دوم‌ خطوط‌ نامیده‌ شوند و با c، b، a و… نمایش‌ داده‌ شوند. فرض‌ کنید اشیای مجموعه سوم‌ صفحات‌ نامیده‌ شوند و با حروف یونانی α، β، γ و….. نمایش‌ داده‌ شوند. ما فکر می کنیم نقاط ، خطوط ، و صفحات ارتباطات دو به دو معینی با هم دارند که ما با کلمات “قرار دارند بر” ، ” بین” ، ” موازی”، “انطباق” و ” پیوستگی” وغیره بیان می کنیم. توصیف کامل و دقیق این ارتباط ها به عنوان دنباله ای از اصول موضوعه هندسه در پی می آیند. (Hilbert,1950,p.2)

سپس هیلبرت به بیان این اصول می پردازد که به پنج گروه تقسیم شده اند: وقوعIncidence) )، میانبود

((Betweenness (Order) Axiom ، قابلیت انطباق( (Congruence ، پیوستگی (Continuity) و توازی( Parallels). در واقع هیلبرت تعریف واژگان نقطه، خط و صفحه را با قواعدی که به آن اصول موضوعه هندسه می گوید تعریف می کند.

اگر خود را به اصول بالا محدود کنیم تنها می توانیم قسمتی از هندسه اقلیدسی را بسازیم که به هندسه نتاری (Neutral Geometry) معروف است. یادگیری هندسه نتاری یعنی یادگیری بازی-زبان آن. به عبارت دیگر یادگیری صورتبندی و اثبات قضایای این هندسه، مطرح کردن مسایل جدید در هندسه نتاری و حل و اثبات آن ها بر اساس قواعد این هندسه و شیوه های استنتاج ریاضی.

یادگیری هندسه نتاری یعنی اینکه چگونه با شبکه واژگان آن کار کنیم و این در گرو آموختن این است که چگونه در بازی زبان هندسه هندسه‌دانان دانشکده ریاضی درگیر شویم. یعنی بکارگیری واژگان هندسه با اعمال قاعده مندی احاطه شده که می توان آن ها را چنین برشمرد: تصحیح اشتباه ها، بیان آنچه معنی می دهد، واکنش های مناسب به بکارگیری صحیح واژگان و قواعد، نشان دادن فهمیدن یا بد فهمیدن و یا نفهمیدن.

حال اگر به این بازی-زبان قاعده دیگری به نام اصل توازی را اضافه کنیم بازی-زبان ما گسترش می یابد و به بازی-زبان هندسه اقلیدسی می رسیم. مطابق این اصل داریم:

اصل موضوعه توازی: به ازای هر خط L و هر نقطه P ناواقع بر آن حداکثر یک خط m وجود دارد چنانکه از P می گذرد و با L موازی است.

حال اگر این اصل را با اصول دیگری جابجا کنیم می توانیم به هندسه های نا اقلیدسی دست یابیم و بازی-زبان های جدیدی را برپا کنیم. لباچفسکی اصل موضوعه جدیدی را با نام «اصل موضوعه هذلولوی» جایگزین اصل موضوعه توازی کرد. مطابق این قاعده جدید داریم:

اصل موضوعه هذلولوی: یک خط L و یک نقطه P غیر واقع بر L وجود دارد چنانکه دست کم دو خط موازی با L از نقطه  P می گذرند.

با اضافه کردن این قاعده لباچفسکی بازی-زبان سازگار جدیدی در هندسه بوجود آورد که هندسه هذلولوی نام گرفت.

با توجه و دقت در اصول موضوعه هیلبرت در می یابیم که مفاهیم‌ اولیه‌ از قبیل‌ صفحه، خط‌ و نقطه‌ که‌ در فرضها ظاهر می‌گردند به طور ضمنی‌ به وسیله این‌ اصول‌ موضوعه‌، که‌ درحکم‌ قواعد بازی‌ هستند و انگار بما می‌گویند چگونه‌ باید بازی‌ کرد، تعریف‌ می‌شوند به عبارت دیگر تنها ارتباط صوری میان دلالت کننده ها مورد علاقه ما هستند. این نماد های هندسی کاملا مجرد هستند و بر چیزی از دنیای واقعی دلالت نمی کنند. یعنی ارتباطی ذاتی میان دال و مدلول ( آن گونه که در هندسه اقلیدسی بیان می شود) وجود ندارد بلکه ما بطور دلخواهی می توانیم میان آن ها ارتباط برقرار کنیم. هندسه‌ از پرتوهای‌ نور صحبت‌ نمی‌کند، ولی‌ مسیر یک‌ پرتو نور ممکن‌ است‌ تعبیر مادی‌ از نماد مجرد«خط‌» باشد. آموزه اصلی هیلبرت را می‌توان در این گفته او دید: «آدمی‌ باید همیشه‌ به جای‌ نقطه‌ و خط‌ و صفحه‌ بتواند میز و صندلی‌ و لیوان‌ آبجو بگوید».

در روش هیلبرت به جای‌ اینکه‌ بگوییم‌: «دو نقطه‌ فقط‌ یک‌ خط‌ را مشخص‌ می‌کنند» می‌توانیم‌ بگوییم‌: «A و B فقط‌ یک‌ a را مشخص‌ می‌سازند » با وجود تغییری‌ که‌ در اصطلاحها داریم‌ باز هم‌ اثبات‌ همه قضایای‌ ما معتبر خواهند ماند؛ زیرا اثبات های درست‌ به‌ شکل‌ و نمودار بسته‌ نیستند بلکه‌ فقط‌ به‌ اصول‌ موضوعه‌ای‌ که‌ وضع‌ شده‌اند و به‌ قواعد منطق‌ بستگی‌ دارند. بنابراین “اثبات”  دنباله ای از فرمولهای نظریه ای صوری است که  با استفاده از قواعد منطق از اصول و احکام آن نظریه استنتاج شده اند.

ریاضیات‌ احکامی‌ می‌سازد به صورت‌ «هرگاه‌ چنین‌ باشد، آنگاه‌ چنان‌ می‌شود» و اساساً در آن‌ صحبتی‌ از معنای‌ فرضها یا راست‌ بودن‌ آنها نیست‌. برنیاس[۱] یکی از ریاضی دانان همکار هیلبرت در این مورد می گوید:« به هیچ روشی، اصول موضوعه قابل داوری نیستند که بتوان گفت درست یا نادرست هستند. حتی سیستم اصل موضوعی به عنوان یک کل نمی تواند بیانی از یک حقیقت رابسازد…..پس خود سیستم اصل موضوعی نمی تواند چیزی واقعی رابیان کند آن تنها شکل ممکنی از سیستمی از ارتباطات را بیان می کند که باید از نظر ریاضی مطابق ویژگی های درونی اش مورد پژوهش قرار گیرد.» Mancosu,1998,p151)) . یعنی به جای صحبت از درستی یا نادرستی یک حکم باید از سازگاری دستگاه اصل موضوعی که ساخته ایم بحث شود. منظور از سازگاری یک دستگاه اصل موضوعی آن است که هیچوقت دو قضیه متناقض(قضیه ای به شکل p&¬p) از این اصول استنتاج نشود. به عبارت دیگر قضایای این دستگاه از قواعد منطق پیروی کنند. اما این قواعد منطق چه چیزهایی هستند؟ آیا آن ها قواعد جهانشمول حاکم بر ذهن ما انسان ها هستند؟ در بخش بعد نشان می دهیم که منطق نه یک امر پیشینی حاکم بر ذهن ما بلکه یک بازی-زبان هست.

«شما باید در نظر داشته باشد که بازی-زبان بیان چیزی غیر قابل پیش بینی است. منظور من این است که: آن مبنا ندارد. استدلال پذیر نیست( یا استدلال ناپذیر نیست). آن آنجا هست- شبیه زندگی ما(ویتگنشتاین)

 بازی-زبان منطق

از نظر ویتگنشتاین « استنتاج منطقی بخشی از یک بازی-زبان است. و کسی که در بازی- زبان ای استنتاج‌های منطقی انجام می‌دهد، از دستورالعمل‌های خاصی پیروی می‌کند که در یادگیری عملی بازی -زبان به او داده شده است.» (Wittgenstein,1998a,sec 23)  در اینجا منطق درجه اول را در نظر می گیریم. نظام منطق جمله ها یک زبان صوری هست. برای ساختن این زبان باید دو نکته را رعایت کرد:

• مجموعه نشانه هایی را که جمله های زبان از آن ها ساخته می شوند
• قاعده هایی که برای پشت سرهم نهادن نشانه ها برای ساختن جمله های آن بکار می رود.

جمله هایی را که بر اساس این قاعده ها ساخته شده باشند جمله های درست ساخت می نامیم. (موحد۶۷) حال بر اساس این دستور العمل می توان بازی-زبان منطق جمله ها را طراحی کرد:

واژگان

-جمله نشانه ها: علامت ها و وابسته های زیر هستند:

P,Q,R,S, …

هر یک از این نشانه ها یک گزاره را نشان می دهد

• ادات های منطقی:

~(نقیض), ®(شرطی), «(دو شرطی), Ú(یا-ترکیب فصلی),Ù (و-ترکیب عطفی)

قواعد

برخی از مهمترین قواعد منطق عبارتند از: قاعده نقض مضاعف ، قاعده وضع مقدم، قاعده رفع تالی، قاعده دلیل شرطی                                                        ، قاعده اینهمانی، قاعده طرد شق ثالث، قاعده عکس نقیض، قاعده امتناع تناقض (Law of noncontradiction) . یک استدلال ریاضی یا فلسفی وقتی درست تلقی می شود که بتوان طی سطرهای متناهی با استفاده از قواعد فوق نتیجه را از فرض های استدلال نتیجه گرفت. یکی از مهمترین این قواعد قاعده امتناع تناقض هست. اهمیت این قاعده از آن رو است که اگر در استدلالی به گزاره P&~P برسیم آنگاه کل استدلال نامعتبر تلقی می شود. از این رو این قاعده را یکی از بدیهیات می شمارند که قطعیت و یقینی بودن آن هیچ استدلالی را نمی طلبد. حال آنکه اگر از منظر ویتگنشتاین به منطق بنگریم منطق فقط یک بازی-زبان است و قواعد آن قواعد یک بازی هستند و نه اصول جهانشمول حاکم بر جهان و ما.

«قواعد تنها دستورالعمل هایی برای این هستند که چگونه بازی کنم و تا زمانی که بتوانم بازی کنم آنها باید درست باشند. فقط زمانی آنها از درست بودن می افتند که متوجه می شوم آنها ناسازگارند و تنها نشانه آن این است که دیگر نمی توانم آن ها را بکار ببرم. برای اینکه تولید منطقی دو قاعده یک تناقض هست و این تناقض دیگر به من نمی گوید که چه کار کنم. بنابراین تناقض فقط زمانی بروز می‌کند که متوجه آن می‌شوم. اگر می‌توانستم بازی کنم، مشکلی وجود نداشت.» (Wittgenstein,1998b,p322)

بطور خلاصه می توان گفت که تناقض دارای دو ویژگی مهم هست:

• « تناقض فقط می تواند در میان قواعد بازی رخ دهد» (Ibid,p321)
• تناقض وقتی رخ می دهد که مطابق قواعد بازی، دیگر راهی برای ادامه دادن بازی وجود ندارد

در این صورت اصل عدم تناقض فقط یکی از قواعد بازی هست که نشان می دهد که وقتی ما در یک استدلال ریاضی به تناقض می رسیم یعنی در بازی استنتاج خود به جایی می رسیم که نمی دانیم حالا باید چه حرکتی انجام دهیم. در چنین شرایطی باید بازی را متوقف کنیم و دوباره از اول بگونه ای دیگر آغاز کنیم بطوریکه به بن بست نرسیم.

چرا ریاضیات به مبنا نیاز دارد؟ به اعتقاد من، ریاضیات همانقدر به پایه و اساس نیاز دارد که گزاره‌های مربوط به اشیاء فیزیکی – یا درباره برداشت‌های حسی – به تحلیل نیاز دارند. آنچه گزاره‌های ریاضی به آن نیاز دارند، روشن شدن دستور زبان آنهاست، درست مانند سایر گزاره‌ها.(ویتگنشتاین)

بنابراین وقتی سر کلاس ریاضی می رویم یا در دانشکده ریاضی ثبت نام می کنیم در واقع می خواهیم به فراگیری بازی-زبان ریاضیات بپردازیم. البته بازی-زبان ریاضیات خود متشکل از چندین بازی-زبان است: بازی-زبان هندسه، بازی-زبان حساب، بازی-زبان آنالیز، بازی-زبان جبر(نظریه گروه ها و حلقه ها)، بازی-زبان نظریه مجموعه ها و بی نهایت ها، بازی-زبان نظریه اعداد، بازی-زبان منطق و …  .

حال پرسش اولیه خود را مجددا بپرسیم: مبنای این بازی-زبان ها چیست؟ این پرسش شبیه آین هست که بپرسیم: مبنای یک بازی چیست؟ آیا بازی فوتبال مبنا دارد؟ آیا بازی لی لی بر اساس بنیادی بنا می شود؟ بازی فقط یکسری واژه ها و قواعدی دارد که بازی کن ها مطابق آن بازی می کنند. اگر از یک بازیکن مثلا یک فوتبالیست بپرسیم مبنای بازی فوتبال چیست؟ سوال بی معنایی کرده ایم و او نیز بعید است که بتواند به این پرسش جواب دهد. همین وضعیت درباره بازی-زبان ها نیز برقرار است. بازی-زبان شبیه یک ساختمان نیست که قوام آن بر روی پایه های سخت و محکم باشد. از این رو ویتگنشتاین می گوید: «شما باید در نظر داشته باشد که بازی-زبان بیان چیزی غیر قابل پیش بینی است. منظور من این است که: آن مبنا ندارد. استدلال پذیر نیست( یا استدلال ناپذیر نیست). آن آنجا هست- شبیه زندگی ما»(Wittgenstein,1969,p559) از این رو ویتگنشتاین به جای اینکه بپرسد مبنای منطق و ریاضیات چیست؟ می پرسد« چرا ریاضیات به مبنا نیاز دارد؟» و در ادامه می گوید«به اعتقاد من، ریاضیات همانقدر به پایه و اساس نیاز دارد که گزاره‌های مربوط به اشیاء فیزیکی – یا درباره برداشت‌های حسی – به تحلیل نیاز دارند. آنچه گزاره‌های ریاضی به آن نیاز دارند، روشن شدن دستور زبان آنهاست، درست مانند سایر گزاره‌ها.» (Wittgenstein,1998a,p378)

[۱] -Bernias

منبع: https://philosophy.ihcs.ac.ir/article_10803.html