شاید بتوان گفت که پرسش « قطعیت قضایای منطق و ریاضی از کجا می آید؟» مهمترین پرسش فلسفه ریاضی است که مکاتب گوناگون کوشیده اند به آن پاسخ دهند. منطق‌گرایان تلاش کردند تا مبنای ریاضیات را بر منطق قرار داده و بدین گونه نشان دهند که قطعیت قضایای ریاضی از صلابت و تغییرناپذیری اصول و قضایای منطق نشات می گیرد. فرگه تا آنجا پیش رفت که «همه حقیقت های حساب را می توان تنها از منطق برآورد. حساب فقط شاخه ای از منطق بود؛ پایه و بنیاد ضرورت حقیقت های حساب همان ضرورت حقیقت های منطقی بود»(دامت،۱۳۹۳،ص ۵۴) شهودگرایان مبنای ریاضیات را بر فرایندهای ذهنی قرار دادند و با این فرض که این فرایندها را هر انسانی در وجود خود در می یابد، سعی کردند مبنای یقینی برای ریاضیات بسازند. براوئر معتقد بود : «از دیدگاه فعلی شهودگرایی همه مجموعه های آحاد ریاضی می توانند از شهود بنیادی برآیند و این کار فقط با ترکیب دو عمل زیر در تعداد متناهی دفعه انجام می پذیرد: خلق یک عدد ترتیبی متناهی و خلق عدد ترتیبی نامتناهی ω»(براور،۱۳۷۶، ص ۳۰) البته فان آتن متذکر می شود که « شهودی یا داده شده از نظر براوئر به این معناست که هیچ واسطه ای ، بویژه در شکل زبان(منطق)، در کار نیست؛ اما به این معنا نیست که بی چون و چراست. بنابراین به نظر من بهترین راه تعبیر شناخت شناسی (epistemology) براوئر این است که آن را در قالب آنچه این روزها به مبانی گرایی خطاپذیر (fallibilist foundationalism) معروف شده است، ارائه کرد»(فان آتن، ۱۳۸۷، ص۴۰) از نظر افلاطون‌گرایان « اشیاء، خاصه‌ها و روابط ریاضیاتی کاملاً واقعی‌اند، یعنی اولاً موجودند و ثانیاً وجودشان مستقل از ذهن یا آگاهی ما است. بر این اساس، به لحاظ واقعی بودن، فرقی بین یک درخت و عدد ۷ نیست. به بیان دیگر، ما اعیان ریاضی، یعنی اشیاء ریاضی (از جمله اعداد، اشکال، مجموعهها، و ساختارها) و خواص آنها و روابط بین آنها، را خلق نمی‌کنیم بلکه کشف می‌کنیم.» (بیات، ۱۳۹۷، ص ۷) صدق گزاره های ریاضی، نه وابسته به ساختار ذهن ماست و نه وابسته به زبانی که برای بیان آن به کار می‌بریم بلکه مبتنی بر واقعیت عینی موجودات ریاضی است و از این رو قطعی هستند. طبیعی‌گرایان، ریاضیات را بخشی از علوم تجربی می دانند. بنابراین وقتی یک نظریه با یافته های تجربی تأیید می شود، کل آن نظریه و از جمله ریاضیاتی که در آن به کار رفته، مورد تأیید قرار می گیرد. از نظر آنان ما در توجیه باور خود به اجزاء ریاضی یک نظریه، به همان شواهدی متوسل می شویم که برای تبیین اعتقاد به بخش های تجربی آن مطرح می کنیم.(علوی نیا،۱۳۸۳،ص ۳۱)
مکاتب فلسفه ریاضی برای توجیه قطعیت قضایای ریاضی در جستجوی مبنایی یقینی و تغییرناپذیر برای آن هستند
آموزه ای که معمولا در اغلب نظریه پردازی های فلسفی از این دست می توان مشاهده کرد این است که برای توجیه قطعیت قضایای ریاضی در جستجوی مبنایی یقینی و تغییرناپذیر برای آن هستند. و از این حیث در ذیل نظریه های مبناگرا قرار می گیرند. نظریه‌های مبناگرا نظریه‌هایی هستند که «دسته ای محدود از باورهای “از نظر معرفت شناسی پایه‌ای” را برای داشتن وضعیت معرفتی مرجح ارائه می کنند»( Pollock,1986: p 26). بطوریکه این باورهای پایه ای نیازی به توجیه نداشته بلکه “خود توجیه گر” اند. توجیه باورهای دیگر به کمک استدلال و برهان، همگی بر اساس این باورها انجام می‌شود. بنابراین باورهای پایه‌ای مبنایی برای توجیه معرفتی فراهم می کنند. بنابراین مبناگرایی را می توان بصورت زیر توصیف کرد: «باورهای توجیه شده ما ساختاری را تشکیل می دهند که برخی باورهای آن (مبناها) بوسیله چیزی بیش از ارتباط آنها با باورهای توجیه شده دیگر توجیه می شوند. باورهایی که بوسیله ارتباطشان با باورهای دیگر توجیه شده‌اند همگی برای توجیه‌شان به مبناها وابسته اند»( Alston, 1976: p 165).
تامل در نظریه های مبناگرا نشان می دهد که «ویژگی مشترک همه اشکال مبناگرایی این است که یک باور می تواند بطور غیر استنتاجی توجیه شود یعنی توجیه آن به اینکه از برخی باورهای توجیه پذیر (یا توجیه ناپذیر) دیگر استنتاج شود وابسته نیست»( Bergmann, 2004, p 162). بر اساس چنین رویکردی نظام باورهای ما به شکل یک هرم است که قاعده آن را باورهای پایه ای تشکیل می دهند که با رفتن به سوی راس آن باورهای دیگر براساس باورهای پیشین و آنها هم به نوبه خود از باورهای پایه ای بدست می آیند. همانطور که با ثبات ترین حالت یک هرم وقتی است که بر قاعده آن قرار گرفته است ، پایدارترین نظام ها نظامی است که بر باورهای پایه ای بنا شده باشد. چنین بنایی هیچگاه به لرزش در نخواهد آمد. اما این باورها از چه نوع هستند؟ برخی اوقات این باورها یکسری ادراکات بی واسطه اند که بطور شهودی و مستقیم، به درستی آنها آگاهی داریم. در موارد دیگر داده های حسی هستند که نمی توان در آنها شک و تردید کرد.
ما چه زمانی به دنبال مبنا می گردیم؟ وقتی معرفت در حوزه خاصی را به مجموعه ای از گزاره ها که صادق یا کاذبند محصور کنیم آنگاه به دنبال توجیه صدق یا کذب آنها، به سوی گزاره‌های مبنایی رهنمون می شویم که خود توجیه‌پذیرند.
مبناگرایی یکی از قدیمی ترین و رایج ترین شیوه های تفکر در ریاضیات و مبانی و چیستی آن است. منطق گرایان مبنای ریاضیات را اصول منطق -به عنوان باورهای خودتوجیه‌گر- در نظر می گیرند. شهودگرایان شهود پایه- دوییت- را مبنای یقینی ریاضی تلقی می کنند. افلاطون گرایان با متعلق دانستن اعداد به یک جهان عینی، آن را مبنای قطعیت اعیان و قضایای ریاضی می دانند. برخی هم با مبنا گرفتن مجموعهها به عنوان مبنایی برای ریاضیات، می کوشند تا تعبیری طبیعت گرایانه از آن ارائه کنند.
چرا برای توجیه قطعیت قضایای ریاضی باید به مبنایی یقینی برای آن متوسل شد؟
در هر حال مبناگرایی شامل آموزه های مختلفی همچون « استدلال بر پایه یک یا چند اصل غیر قابل ابطال، ادعایی برای قطعیت، تاکید بر فاعل شناسا (یا ذهنیت) به عنوان نشانه و سرنخی برای عینیت (یا ادعاهایی برای شناخت عینی) و یا حتی توانایی فرض شده برای تشخیص شرایط امکان معرفت»( Rockmore,2004: p 46) است. حال این پرسش مهم مطرح می شود که ما چه زمانی به دنبال مبنا می گردیم؟ با کمی تامل در می یابیم که وقتی معرفت در حوزه خاصی را به مجموعه ای از گزاره ها که صادق یا کاذبند محصور کنیم آنگاه به دنبال توجیه صدق یا کذب آنها، به سوی گزاره‌های مبنایی رهنمون می شویم که خود توجیه‌پذیرند. وقتی جستجوی ما به مبنایی سخت می رسد پایان می پذیرد و بدین گونه می توانیم به دور از نگرانی پژوهش های بعدی خود را بر آن گزاره های بنیادی بنا کنیم.
در حالیکه می توان شیوه «جستجوی مبنا» برای ریاضیات را مورد پرسش قرار داد و پرسید چرا برای توجیه قطعیت قضایای ریاضی باید به مبنایی یقینی برای آن متوسل شد؟ در این مقاله می کوشیم که به این پرسش در پرتو رویکرد ویتگنشتاین متاخر پاسخ دهیم. از این رو در ابتدا نشان می دهیم که ریاضیات یک بازی-زبان است. بدین منظور هندسه و منطق را به منزله دو بازی-زبان در ریاضیات بررسی می‌کنیم و سپس نشان می دهیم که قطعیت قواعد بازی-زبان ها ، از جمله ریاضیات، نیازمند مبنایی یقینی نیست بلکه این قطعیت از روال عملی (practice) استنتاج و استدلال در منطق و ریاضیات بر می آید.
منبع: https://philosophy.ihcs.ac.ir/article_10803.html